Determinan

METODE CHIO 

Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka :

Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

(1). Jika A matrik bujur sangkar

      maka 

               det(A) = det(AT)

       Contoh :

(2). Jika A dan B adalah matrik bujur

       sangkar yang berordo sama maka 

        det(AB) = det(A) det(B)

       Contoh :

(3). Jika A matrik bujur sangkar yang 

      memuat baris atau kolom dimana

      elemennya 0 atau sebanding, maka 

               det(A) = 0

       Contoh :

(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah)  

      yang berordo (nxn) dimana 

      elemen diagonal utama tak nol,

      maka : 

         det(A) = a11a22a33 … ann

       Contoh :

(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar

      yang berordo sama. Jika matrik B

      diperoleh dari A dengan cara

      mengalikan sembarang baris

     (kolom) dengan konstanta k tak

      nol, maka :

               det(B) = k det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      Hi  k Hi : Baris ke-i baru = 

                         kx baris ke-i lama 

      Kj  k Kj : Kolom ke-j baru =

                         kxkolom ke-j lama 

  

(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar

      yang berordo sama. Jika matrik B

      diperoleh dari A dengan cara

      menukarkan  semua elemen 

      sembarang baris (kolom) , maka :

               det(B) = – det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      Hi  Hj : Baris ke-i baru = 

                      baris ke-j lama 

      Ki   Kj : Kolom ke-i baru =

                      kolom ke-j lama 

       

(7). Jika A dan B matrik bujur sangkar

      yang berordo sama. Jika matrik B

      diperoleh dari A dengan cara

      mengalikan sembarang baris

     (kolom) dengan konstanta k tak

      nol dan hasilnya dijumlahkan 

      pada baris (kolom) yang lain,

      maka :

               det(B) = det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      Hi  Hi+kHj : 

      Baris ke-i baru = Baris ke-i lama 

                             + k baris ke-j lama 

      Kj  Kj+k Kj : 

      Kolom ke-j baru = kolom ke-j 

         lama + k kolom ke-i lama 

DIKOMPOSISI MATRIKS DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat 

didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga :

               A = LU 

Akibatnya :

          det(A) = det(L) det (U)

CONTOH

TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU 

(1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah  satu.

(2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1

(3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

(4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :